Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD=

3

，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°．

Answer 1

分析：（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=

3

，BE=3，由勾股定理，我們易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，則DC⊥EF，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到答案．
（II）方法一（幾何法）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH，由三垂線定理及二面角的平面角的定義，易得∠AHB為二面角A-EF-C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A-EF-C的大小為60°時(shí)，AB的長(zhǎng)．
方法二（向量法）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，設(shè)AB=a，分別求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夾角公式，由二面角A-EF-C的大小為60°，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程求出a值．

解答：證明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=

3

，BE=3，∴EC=2

3

，
∵在△FCE中，CF²=EF²+CE²，∴EF⊥CE（3分）由已知條件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC與EC相交于C，（5分）∴EF⊥平面DCE（6分）
解：（Ⅱ）
方法一：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF．
所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角．（8分）
在Rt△CEF中，因?yàn)镋F=2，CF=4．EC=2

3

∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴BH=BE•sin∠BEH=

3 3

2

（10分）
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得AB=BH•tan∠AHB=

9

2

，
所以當(dāng)AB=

9

2

時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°（13分）
方法二：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．（7分）
設(shè)AB=a（a＞0），則C（0，0，0），A（

3

，0，a），B（

3

，0，0），E（

3

，3，0），F(xiàn)（0，4，0）．
從而

EF

=(-

3

，1，0)，

AE

=(0，3，-a)，（9分）
設(shè)平面AEF的法向量為

n

=(x，y，z)，由

EF

•

n

=0，

AE

•

n

=0得，

- 3 x+y=0 3y-az=0

，取x=1，
則y=

3

，z=

3 3

a

，即

n

=(1，

3

，

3 3

a

)，（11分）
不妨設(shè)平面EFCB的法向量為

BA

=(0，0，a)，
由條件，得|cos＜

n

，

BA

＞|=|

n • BA

| n || BA |

|=

3 3 a

a 4a2+27

=

1

2

解得a=

9

2

．所以當(dāng)AB=

9

2

時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直、線面垂直與面面垂直的之間的相互轉(zhuǎn)化，（II）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題．