Question

18．如圖所示，三棱柱OAD-EBC，其中A，C，B，D，E均為以O為球心，半徑為4的半球面上，EF為直徑，側面ABCD為邊長等于4的正方形，則三棱柱OAD-EBC的高為（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 連結OB，OC，判斷O-ABCD的形狀，求出V_O-ABD，利用三棱錐的體積公式建立方程，求出結果．

解答 解：連結OB，OC，由題意可知O-ABCD是棱長為4的四棱錐，O到底面ABCD的距離為h=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．O到AD的距離為$\sqrt{8+4}$=2$\sqrt{3}$
V_O-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4×2$\sqrt{2}$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．
三棱柱OAD-EBC的高為h′，則$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}×h′$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴h′=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查球與內接幾何體的關系，三棱錐的體積的求法以及關系的應用，考查轉化思想．