【題目】已知函數(shù)(為實(shí)數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù)(其中為常數(shù)),若函數(shù)在區(qū)間上不存在極值,且存在滿足,求的取值范圍;
(3)已知,求證:.
【答案】(1)(2)(3)詳見解析
【解析】
試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得,先求導(dǎo)數(shù),代入得切線斜率為2,因?yàn)?/span>,所以根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程(2)不存在極值,即函數(shù)導(dǎo)數(shù)不變號(hào),先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),因此或,存在性問題,轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值:即由存在滿足,得,結(jié)合二次函數(shù)最值求法,即對稱軸與對應(yīng)區(qū)間位置關(guān)系分類討論:①當(dāng)或,;②當(dāng),;③當(dāng),,再分別求解對應(yīng)不等式,得的取值范圍;(3)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù):,可利用導(dǎo)數(shù)得,因此有不等式,令,則,最后根據(jù)疊加法可證不等式
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),,,
則,,
∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為:,即.
(2),由,解得,
由于函數(shù)在區(qū)間上不存在極值,所以或,
由于存在滿足,所以,
對于函數(shù),對稱軸,
①當(dāng)或,即或時(shí),,
由,即,結(jié)合或可得:或;
②當(dāng),即時(shí),,
由,即,結(jié)合可知:不存在;
③當(dāng),即時(shí),;
由,即,結(jié)合可知:,
綜上可知,的取值范圍是.
(3)證明:當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
∴在處取得最大值,
即,∴,
令,則,即,
∴ ,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為2,左、右頂點(diǎn)分別為,是橢圓上一點(diǎn),記直線的斜率為,且有.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),且線段的垂直平分線在軸上的截距為,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),若橢圓與曲線的交點(diǎn)分別為(下上),且兩點(diǎn)滿足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn),作的兩條切線,切點(diǎn)分別為,且直線在軸、軸上的截距分別為,證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓及點(diǎn),.
(1)若直線平行于,與圓相交于,兩點(diǎn),,求直線的方程;
(2)在圓上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求點(diǎn)的個(gè)數(shù);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品和產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料,生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料1.5,乙材料1,用5個(gè)工時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料0.5,乙材料0.3,用3個(gè)工時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150,乙材料90,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤之和的最大值為____________元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,公差,且,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的圓臺(tái)中,是下底面圓的直徑,是上底面圓的直徑,是圓臺(tái)的一條母線.
(1)已知,分別為,的中點(diǎn),求證:平面;
(2)已知,,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記表示中的最大值,如.已知函數(shù),.
(1)設(shè),求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)試探究是否存在實(shí)數(shù),使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,平面平面,,.設(shè)分別為中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)試問在線段上是否存在點(diǎn),使得過三點(diǎn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行?
若存在,指出點(diǎn)的位置并證明;若不存在,請說明理由.
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