Question

證明：兩個等差數(shù)列的相同的項按原來的前后次序組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù)．

Answer 1

考點：等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分別設出兩個等差數(shù)列，求出它們共同的第n項和第n+1項，兩項作差后說明當兩項的差為原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)時為常數(shù)，符合等差數(shù)列的概念，從而說明兩個等差數(shù)列的相同的項按原來的前后次序組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù)．

解答： 證明：設兩個等差數(shù)列分別為{a_n}，{b_n}，
首項分別為a₁，b₁，公差分別為d₁，d₂，
再設其第n個相同的項為c_n，
則c_n=a_i=a₁+（i-1）d₁，c_n=b_j=b₁+（j-1）d₂，
再設其第n+1個相同的項為c_n+1，
則c_n+1=a_k=a₁+（k-1）d₁=c_n+（k-i）d₁，
c_n+1=b_m=b₁+（m-1）d₂=c_n+（m-j）d₂，
即c_n+1-c_n=（k-i）d₁=（m-j）d₂，
令k-i=z₁，m-j=z₂（z1，z2∈N*），
則z₁d₁=z₂d₂，
∴當z₁d₂為d₁，d₂的最小公倍數(shù)時，能夠兩個等差數(shù)列的相同的項按原來的前后次序組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù)．

點評：本題考查了等差關(guān)系的確定，關(guān)鍵是對題意的理解與應用，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，屬難度較大的題目．