Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

5

3

，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為12．
（1）求橢圓的面積；
（2）若點M、N在橢圓上，點E（1，1）為MN的中點，求出直線MN所在的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c a = 5 3 2ab=12 a2=b2+c2

，解得a=3，b=2，c=

5

，由此能求出橢圓的面積．
（2）由（1）得橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由點E（1，1）為MN的中點，利用點差法能求出直線MN所在的方程．

解答： 解：（1）由已知得

c a = 5 3 2ab=12 a2=b2+c2

，
解得a=3，b=2，c=

5

，
∴橢圓的面積S=πab=6π．
（2）由（1）得橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵點E（1，1）為MN的中點，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入橢圓方程，得：

x12

9

+

y12

4

=1，①

x22

9

+

y22

4

=1，②
①-②，得：8（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

，
∴直線MN所在的方程為y-1=-

4

9

(x-1)，即4x+9y-13=0．

點評：本題考查橢圓的面積的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．