Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n=1-

1

2

b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較

1

bn

與S_n+1的大�。�并且用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求出首項(xiàng)與公差，公比，可得數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求和，再比較

1

bn

與S_n+1的大小，最后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

解答： 解：（1）由已知得a₂+a₅=12，a₂a₅=27，
又∵{a_n}的公差大于0，
∴a₅＞a₂，∴a₂=3，a₅=9．∴d=

a5-a2

3

=

9-3

3

=2，a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．[（2分）]
∵T_n=1-

1

2

b_n，∴b₁=

2

3

，當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1=1-

1

2

b_n-1，
∴b_n=T_n-T_n-1=1-

1

2

b_n-（1-

1

2

b_n-1），
化簡(jiǎn)，得b_n=

1

3

b_n-1，[（4分）]
∴{b_n}是首項(xiàng)為

2

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，
即b_n=

2

3n

，
∴a_n=2n-1，b_n=

2

3n

．[（6分）]
（2）∵S_n=

1+(2n-1)

2

n=n²，∴S_n+1=（n+1）²，

1

bn

=

3n

2

．
以下比較

1

bn

與S_n+1的大�。�
當(dāng)n=1時(shí)，

1

b1

=

3

2

，S₂=4，∴

1

b1

＜S₂，當(dāng)n=2時(shí)，

1

b2

=

9

2

，S₃=9，∴

1

b2

＜S₃，
當(dāng)n=3時(shí)，

1

b3

=

27

2

，S₄=16，∴

1

b3

＜S₄，當(dāng)n=4時(shí)，

1

b4

=

81

2

，S₅=25，∴

1

b4

＞S₅．
猜想：n≥4時(shí)，

1

bn

＞S_n+1．[（9分）]
數(shù)學(xué)歸納法給出證明：
①當(dāng)n=4時(shí)，

1

b4

=

81

2

，S₅=25，∴

1

b4

＞S₅．
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

1

bk

＞S_k+1．
則n=k+1時(shí)，

1

bk+1

=

3k+1

2

＞3S_k+1．
∵3（k+1）²-（k+2）²=2k²+2k+1＞0，
∴3S_k+1＞S_k+2，∴

1

bk+1

＞S_k+2，
由①②可知，n≥4時(shí)，

1

bn

＞S_n+1．[（12分）]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法，第（1）問(wèn)要注意遞推公式的靈活運(yùn)用，第（2）問(wèn)要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．