Question

13．拖延癥總是表現(xiàn)在各種小事上，但日積月累，特別影響個人發(fā)展，某校的一個社會實踐調查小組，在對該校學生進行“是否有明顯拖延癥”的調查中，隨機發(fā)放了110份問卷．對收回的100份有效問卷進行統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表：

	有明顯拖延癥	無明顯拖延癥	合計
男	35	25	60
女	30	10	40
總計	65	35	100

（Ⅰ）按女生是否有明顯拖延癥進行分層，已經從40份女生問卷中抽取了8份問卷，現(xiàn)從這8份問卷中再隨機抽取3份，并記其中無明顯拖延癥的問卷的份數為X，試求隨機變量X的分布列和數學期望；
（2）若在犯錯誤的概率不超過P的前提下認為無明顯拖延癥與性別有關，那么根據臨界值表，最精確的P的值應為多少？請說明理由
附：獨立性檢驗統(tǒng)計量K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d 

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析 （1）分層從40份女生問卷中抽取了8份問卷，有明顯拖延癥6人，“無明顯拖延癥2人，若從這8份問卷中隨機抽取3份，隨機變量X=0，1，2．利用“超幾何分布”即可得出分布列及其數學期望；
（2）根據“獨立性檢驗的基本思想的應用”計算公式可得K²的觀測值k，即可得出．

解答 解：（1）從40份女生問卷中抽取了8份問卷，有明顯拖延癥6人，“無明顯拖延癥2人．…（2分）
則隨機變量X=0，1，2，…（3分）
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{14}$；P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{3}{28}$…（6分）
分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{5}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{28}$

…（7分）
E（X）=0×$\frac{5}{14}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{28}$=$\frac{3}{4}$． …（8分）
（2）K²=$\frac{100（35×10-30×25）^{2}}{65×35×60×40}$≈2.930 …（10分）
由表可知2.706＜2.93＜3.840；
∴P=0.10． …（12分）

點評 本題考查了組合數的計算公式、古典概率計算公式、“超幾何分布”分布列及其數學期望公式、“獨立性檢驗的基本思想的應用”計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．