Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為a_n的一組正三角形A_nB_n-1B_n的底邊B_n-1B_n依次排列在x軸上（B₀與坐標(biāo)原點(diǎn)重合）．設(shè){a_n}是首項(xiàng)為a，公差為2的等差數(shù)列，若所有正三角形頂點(diǎn)A_n在第一象限，且均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則a的值為2．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等邊三角形的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由題意可得：{a_n}是首項(xiàng)為a，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=a+2（n-1）．
∴a₁=a=OB₁，∵△A₁B₀B₁是等邊三角形，∴${x}_{{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}a$，${y}_{{A}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
同理可得：B₁B₂=a₂=a+2，${x}_{{A}_{2}}$=a+$\frac{1}{2}（a+2）$=$\frac{3a+2}{2}$，${y}_{{A}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}（a+2）}{2}$．
A₁$（\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}）$，A₂$（\frac{3a+2}{2}，\frac{\sqrt{3}（a+2）}{2}）$，
∴$\frac{3}{4}{a}^{2}$=2p×$\frac{a}{2}$，$（\frac{\sqrt{3}（a+2）}{2}）^{2}$=2p×$\frac{3a+2}{2}$，
解得a=2，p=$\frac{3}{2}$．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．