【題目】給定正整數(shù).將三種水果分裝在個(gè)箱子中.試求最小的正整數(shù)，使得無(wú)論水果如何分布，總可選出個(gè)箱子，它們所裝的三種水果都不少于各自總量的一半.

【答案】

【解析】

記三種水果為、、，表示第個(gè)箱子中所裝的水果的量.

考慮這樣的分布：一只箱子裝所有的水果，另一只箱子裝所有的水果，其余只箱子平均裝所有的水果.

顯然，，其中，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù).

下證：就是所求的最小值

首先證明一個(gè)引理.

引理 只箱子中裝有、兩種水果，單箱水果的最大值為，水果的最大值為則可將所有的箱子分為、兩組，每組只箱子，使得

，

.

證明 設(shè)

令，.則.

假定已將，，，，等分為，，

滿(mǎn)足.

不妨設(shè)，和中水果較少的為，較多的為.

令,

則

.

依此，全部只箱子分為兩組

，，且

不妨設(shè).

注意到，由原來(lái)的排序知

則.

回到原題.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)第1箱中水果最多，余下的箱中第2箱水果最多，另外箱依引理等分為、兩組.

設(shè).由，

知所裝的三種水果都不少于各自總量的一半，且其箱子數(shù)為.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先任取一箱，余下的箱同上處理，共取出箱，所裝的三種水果都不少于各自總量的一半.

因此，所求的在的最小值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】年上半年，隨著新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超過(guò)個(gè)國(guó)家或地區(qū)宣布進(jìn)人緊急狀態(tài)，部分國(guó)家或地區(qū)直接宣布“封國(guó)”或“封城”，隨著國(guó)外部分活動(dòng)進(jìn)入停擺，全球經(jīng)濟(jì)缺乏活力，一些企業(yè)開(kāi)始倒閉，下表為年第一季度企業(yè)成立年限與倒閉分布情況統(tǒng)計(jì)表：

企業(yè)成立年份

2019

2018

2017

2016

2015

企業(yè)成立年限

1

2

3

4

5

倒閉企業(yè)數(shù)量（萬(wàn)家）

5.28

4.72

3.58

2.70

2.15

倒閉企業(yè)所占比例

21.4%

19.1%

14.5%

10.9%

8.7%

（1）由所給數(shù)據(jù)可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；

（2）建立關(guān)于的回歸方程，預(yù)測(cè)年成立的企業(yè)中倒閉企業(yè)所占比例.

參考數(shù)據(jù)：，，，，

相關(guān)系數(shù)，樣本的最小二乘估計(jì)公式為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】，.

（1）若在是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的范圍；

（2）若在上最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）若在時(shí)恒成立，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)某相鄰兩支圖象與坐標(biāo)軸分別變于點(diǎn)，則方程所有解的和為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若，證明 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的，，，四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：

甲說(shuō)：“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”；

乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；

丙說(shuō)：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；

丁說(shuō)：“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.

若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話(huà)是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________．

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甲說(shuō)：“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”；

乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；

丙說(shuō)：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；

丁說(shuō)：“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.

若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話(huà)是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有2013位來(lái)自不同國(guó)家的代表參加一個(gè)會(huì)議，每位代表都懂得若干種語(yǔ)言，已知其中任意四位代表之間都可進(jìn)行交談而不需要此四位代表以外的其他人幫助，即此四人中的任意兩人都能講同一種語(yǔ)言而實(shí)現(xiàn)直接溝通，或者通過(guò)第三個(gè)人的翻譯實(shí)現(xiàn)間接溝通，或者通過(guò)他們各自的翻譯能講的同一種語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)低效的間接溝通，證明：可以將所有代表分配住進(jìn)671個(gè)房間，每個(gè)房間住3人，使得每個(gè)房間的3人都可以交談。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）求經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；

（2）若為橢圓上任意-點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)距離最小時(shí)，求點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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