Question

9．設(shè)正方形ABCD（A，B，C，D順時針排列）的外接圓方程為x²+y²6x+a=0（a＜9），C，D點所在直線l的斜率為$\frac{1}{3}$．
（1）求外接圓心M點的坐標(biāo)及正方形對角線AC，BD的斜率；
（2）如果在x軸上方的A，B兩點在一條以原點為頂點，以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程；（3）如果ABCD的外接圓半徑為2$\sqrt{5}$，在x軸上方的A，B兩點在一條以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得外接圓心M點的坐標(biāo)，利用夾角公式，求出正方形對角線AC，BD的斜率；
（2）求出A，B的坐標(biāo)代入拋物線方程，求出參數(shù)，可得拋物線的方程及直線l的方程；
（3）將圓的方程與直線AC，BD的方程y=$\frac{1}{2}$（x-2），y=2（x-3）聯(lián)立，可得A（-1，2），B（5，4），代入拋物線方程為y²=a（x-m），建立方程組，求出a，m，即可求此拋物線的方程及直線l的方程．

解答 解：（1）由題意，方程可化為（x-3）²+y²=9-a（a＜9），可得外接圓心M點的坐標(biāo)（3，0）．
由于∠ABM=∠BAM=45°，k_AB=$\frac{1}{3}$，∴正方形對角線AC，BD的斜率滿足|$\frac{k-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}k}$|=1，
∴正方形對角線AC，BD的斜率為2，-$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)MB，MA的傾斜角分別為θ₁，θ₂，則tanθ₁=2，tanθ₂=-$\frac{1}{2}$，
∴cosθ₁=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ₁=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ₂=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinθ₂=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
設(shè)MA=MB=r，則A（3-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$r，$\frac{\sqrt{5}}{5}$r），B（3-$\frac{\sqrt{5}}{5}$r，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$r），
設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），A，B代入（$\frac{\sqrt{5}}{5}$r）²=2p（3-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$r），（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$r）²=2p（3-$\frac{\sqrt{5}}{5}$r），
解出r=$\sqrt{5}$，p=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線方程為y²=x，
∴A（1，1），且A關(guān)于M（3，0）的對稱點C的坐標(biāo)是（5，-1），
直線l的方程為y-（-1）=$\frac{1}{3}$（x-5），即x-3y-8=0；
（3）將圓的方程與直線AC，BD的方程y=$\frac{1}{2}$（x-2），y=2（x-3）聯(lián)立，可得A（-1，2），B（5，4），
設(shè)拋物線方程為y²=a（x-m），代入A，B的坐標(biāo)，得$\left\{\begin{array}{l}{4=a（-1-m）}\\{16=a（5-m）}\end{array}\right.$，解得a=2，m=-3，
∴拋物線方程為y²=2（x+3）．

點評 本題考查圓的方程，考查拋物線的方程，考查學(xué)生的計算能力，有難度．