Question

10．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x），且f（-1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值為（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 本題通過賦值法對f（2-x）=f（x）中的x進行賦值為2+x，可得-f（x）=f（2+x），可得到函數(shù)f（x）的周期為4，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到f（0）=0，再通過賦值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解．

解答 解：∵f（2-x）=f（x），∴f[2-（2+x）]=f（2+x），即f（-x）=f（2+x），即-f（x）=f（2+x），
∴f（x+4）=f（4+x），故函數(shù)f（x）的周期為4．
∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2-x）-f（x）=0，且f（-1）=2，
∴f（0）=0，f（1）=-f（-1）=-2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（-1）=2，f（4）=f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=504•[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）
=504×（-2+0+2+0）+f（1）=0+（-2）=-2，
故選：C．

點評 本題通過賦值法結合奇函數(shù)的性質(zhì)，利用周期性和圖象平移的知識即可求解，屬于基礎題．