Question

14．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位，已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$，點(diǎn)P在l上．
（1）過P向圓C引切線，切點(diǎn)為F，求|PF|的最小值；
（2）射線OP交圓C于R，點(diǎn)Q在OP上，且滿足|OP|²=|OQ|•|OR|，求Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）由同角的平方關(guān)系可得圓C的普通方程，由y=ρsinθ，x=ρcosθ，可得直線的普通方程，由勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式，可得切線長的最小值；
（2）設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，θ），（ρ，θ），（ρ₂，θ），代入圓C的極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程，由同角公式和二倍角的正弦公式，計(jì)算即可得到所求軌跡方程．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
可得圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，
直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$，
即有ρsinθ+ρcosθ=4，
即直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0．
由|PO|²=|PF|²+|OF|²，
由P到圓心O（0，0）的距離d最小時，
|PF|取得最小值．
由點(diǎn)到直線的距離公式可得d_min=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
可得|PF|最小值為$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2；
（2）設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，θ），（ρ，θ），（ρ₂，θ），
由ρ₁=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$，ρ₂=2，
又|OP|²=|OQ|•|OR|，可得
ρ₁²=ρρ₂，
即有ρ=$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}}{{ρ}_{2}}$=$\frac{16}{（sinθ+cosθ）^{2}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2sinθcosθ}$
=$\frac{8}{1+sin2θ}$．
即Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{8}{1+sin2θ}$．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查切線長的最值的求法，注意運(yùn)用勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式，考查軌跡的極坐標(biāo)方程的求法，注意運(yùn)用代入法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．