【題目】已知函數(shù)f(x)= (a∈R),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直. (Ⅰ)試比較20162017與20172016的大小,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1 , x2 , 證明:x1x2>e2 .
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)= , , 所以 ,又由切線與直線x+y+1=0垂直,
可得f′(1)=1,即 ,解得a=0.
此時(shí) , ,
令f'(x)>0,即1﹣lnx>0,解得0<x<e;
令f'(x)<0,即1﹣lnx<0,解得x>e,
所以f(x)的增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+∞).
所以f>f,
即 .
2017ln2016>2016ln2017,即有20162017>20172016 .
(Ⅱ)證明:不妨設(shè)x1>x2>0,因?yàn)間(x1)=g(x2)=0,
所以化簡(jiǎn)得lnx1﹣kx1=0,lnx2﹣kx2=0.
可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1﹣lnx2=k(x1﹣x2),
要證明, ,即證明lnx1+lnx2>2,也就是k(x1+x2)>2.
因?yàn)? ,即證 ,
即ln > ,令 ,則t>1,即證 .
令 (t>1).
由 = ,
故函數(shù)h(t)在(1,+∞)是增函數(shù),
所以h(t)>h(1)=0,即 得證.
所以 .
【解析】(Ⅰ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),由兩直線垂直的條件:斜率相等,即可得到切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而f(x)的解析式和導(dǎo)數(shù),求出單調(diào)區(qū)間,可得f>f,即可得到20162017與20172016的大;(Ⅱ)運(yùn)用分析法證明,不妨設(shè)x1>x2>0,由根的定義可得所以化簡(jiǎn)得lnx1﹣kx1=0,lnx2﹣kx2=0.可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1﹣lnx2=k(x1﹣x2),要證明, ,即證明lnx1+lnx2>2,也就是k(x1+x2)>2.求出k,即證 ,令 ,則t>1,即證 .令 (t>1).求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即可得證.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P( , )在橢圓E: + =1(a>b>0)上,F(xiàn)為右焦點(diǎn),PF垂直于x軸,A,B,C,D為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AC,BD交于原點(diǎn)O.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),滿(mǎn)足 = ,判斷kAB+kBC的值是否為定值,若是,求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)記為f'(x),滿(mǎn)足f(x)+f(2﹣x)=(x﹣1)2 , 且當(dāng)x≤1時(shí),恒有f'(x)+2<x.若 ,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,1]
B.
C.[1,+∞)
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿(mǎn)足 .
(1)求∠ABC;
(2)若 ,D為△ABC外一點(diǎn),DB=2,DC=1,求四邊形ABDC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)上稱(chēng)函數(shù)y=kx+b(k,b∈R,k≠0)為線性函數(shù).對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)f(x),在點(diǎn)x0附近一點(diǎn)x的函數(shù)值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x﹣x0).利用這一方法, 的近似代替值( )
A.大于m
B.小于m
C.等于m
D.與m的大小關(guān)系無(wú)法確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=cos2x圖象向左平移φ(0<φ< )個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調(diào)遞減,且函數(shù)g(x)的最大負(fù)零點(diǎn)在區(qū)間(﹣ ,0)上,則φ的取值范圍是( )
A.[ , ]
B.[ , )
C.( , ]
D.[ , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F1(﹣c,0)、F2(c、0)分別是橢圓G: + =1(0<b<a<3)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P(2, )是橢圓G上一點(diǎn),且|PF1|﹣|PF2|=a.
(1)求橢圓G的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn),若 ⊥ ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),判斷O到直線l的距離是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圖1中,四邊形 ABCD是等腰梯形,AB∥CD,EF∥CD,DM⊥AB于M、交EF于點(diǎn)N,DN=3 ,MN= ,現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起,記折起后C、D為C'、D'且使D'M=2 ,如圖2示.
(Ⅰ)證明:D'M⊥平面ABFE;,
(Ⅱ)若圖1中,∠A=60°,求點(diǎn)M到平面AED'的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1 , 且AA1=AB=2.
(1)求證:AB⊥BC;
(2)若直線AC與平面A1BC所成的角為 ,求銳二面角A﹣A1C﹣B的大。
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