Question

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)；
②若m≥-1，則函數(shù)y=log 

1

2

（x²-2x-m）的值域?yàn)镽；
③若f′（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極值；
④“a=1”是“函數(shù)f（x）=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件即可得到結(jié)論．
②根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
③根據(jù)函數(shù)極值的定義和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
④根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及充分條件和必要條件即可得到結(jié)論．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）單調(diào)遞增，
∵f（1）=1-2=-1＜0，f（e）=lne-2+e=e-1＞0，
∴函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)，故①正確；
②要使函數(shù)y=log 

1

2

（x²-2x-m）的值域?yàn)镽，則函數(shù)y=x²-2x-m能取得所有的正值，即判別式△=4+4m≥0，解得m≥-1，故②正確；
③函數(shù)f（x）=x³，滿足f′（0）=0，但此時(shí)函數(shù)f（x）無(wú)極值，故函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極值錯(cuò)誤，故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)a=1，函數(shù)f（x）=

a-ex

1+aex

=

1-ex

1+ex

，則f（-x）=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

1+ex

=-

1-ex

1+ex

=-f（x）是奇函數(shù)，
當(dāng)a=-1時(shí)f（x）=

-1-ex

1-ex

=

ex+1

ex-1

，滿足f（-x）=

e-x+1

e-x-1

=

1+ex

1-ex

=-

ex+1

ex-1

=-f（x），此時(shí)f（x）是奇函數(shù)，但a=1不成立，
即④“a=1”是“函數(shù)f（x）=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件，故④正確．
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．