Question

17．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=x²-$\frac{1}{3}$f（3）．
（1）設(shè)g（x）=f（x）+3^|x-1|，求g（x）在[0，3]上的值域；
（2）當(dāng)x∈（-2，-$\frac{1}{2}$）時(shí)，不等式f（a）+4a＜（a+2）f（x²）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=2，可求得f（3）=3，再令x+1=t，可求得f（x）=x²-2x；利用二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得g（x）=f（x）+3^|x-1|在[0，3]上的值域；
（2）由（1）知f（a）+4a＜（a+2）f（x²）即為a²+2a＜（a+2）f（x²），通過(guò)對(duì)a+2=0與a+2＞0、a+2＜0的分類討論，分離出參數(shù)a，分別求得對(duì)應(yīng)情況下a的取值范圍，取并即可．

解答 解：（1）令x=2，得$f（3）=4-\frac{1}{3}f（3）$，∴f（3）=3，
令x+1=t，則x=t-1，∴f（t）=（t-1）²-1=t²-2t，
∴f（x）=x²-2x．…（3分）
∵y=3^|x-1|與y=f（x）都在[0，1）上遞減，（1，3]上遞增，
∴g（x）在[0，1）上遞減，（1，3]上遞增，
∴g（x）_min=g（1）=0，g（x）_max=g（3）=12，
∴g（x）在[0，3]上的值域?yàn)閇0，12]．…（6分）
（2）由（1）知f（a）+4a＜（a+2）f（x²）即為a²+2a＜（a+2）f（x²）．
當(dāng)a+2=0時(shí)，a²+2a＜（a+2）f（x²），即為a＜0，不合題意．…（7分）
當(dāng)a+2＞0時(shí)，a²+2a＜（a+2）f（x²）可轉(zhuǎn)化為a＜f（x²）=（x²-1）²-1．
∵$x∈（-2，-\frac{1}{2}）$，∴${x^2}∈（\frac{1}{4}，4）$，
∵f（x²）=（x²-1）²-1，∴當(dāng)x²=1即x=-1時(shí)，f（x²）取得最小值-1．
∴a＜-1，∵a+2＞0，∴-2＜a＜-1．…（10分）
當(dāng)a+2＜0時(shí)，a²+2a＜（a+2）f（x²）可轉(zhuǎn)化為a＞f（x²）．
∵當(dāng)$x∈（-2，-\frac{1}{2}）$時(shí)，f（x²）＜8，∴a≥8，又a＜-2，∴不合題意．…（11分）
綜上，a的取值范圍為（-2，-1）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查函數(shù)單調(diào)性與最值問題的確定，突出分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，分離參數(shù)是關(guān)鍵，屬于難題．