已知二面角α-PQ-β為60°，點A和B分別在平面α和平面β內，點C在棱PQ上∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a．
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）求點B到平面α的距離；
（3）設R是線段CA上的一點，直線BR與平面α所成的角為45°，求CR的長．
證明：（1）作BM⊥PQ于M，連接AM，
∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，
∴△MBC≌△MAC，∴AM⊥PQ，PQ⊥平面ABM，AB?平面ABM，
∴AB⊥PQ．
（2）作BN⊥AM于N，
∵PQ⊥平面ABM，∴BN⊥PQ，
∴BN⊥α，BN是點B到平面α的距離，由（1）知∠BMA=60°，
∴BN=BMsin60°=CBsin30°sin60°=
3
a
4
．
∴點B到平面α的距離為
3
a
4
．
（3）連接NR，BR，∵BN⊥α，BR與平面α所成的角為∠BRN=45°，
RN=BN=
3
a
4
，CM=BCcos30°=
3
a
2
，
∴RN=
1
2
CM，∵∠BMA=60°，BM=AM，△BMA為正三角形，
N是BM中點，∴R是CB中點，∴CR=
a
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

，，，分別是棱長為的正方體中，，，的中點．
（1）求證：平面；
（2）求長；
（3）求證：平面．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知空間四邊形ABCD中，AB = CD = 3，E、F分別為BC、AD上的點，且，EF =，則直線AB和CD所成的角的大小是        ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，平面平面ABCD，
ABCD為正方形，是直角三角形，
且，E、F、G分別是
線段PA，PD，CD的中點.
（1）求證：∥面EFC；
（2）求異面直線EG與BD所成的角；
（3）在線段CD上是否存在一點Q，
使得點A到面EFQ的距離為0.8. 若存在，
求出CQ的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2

（1）求證：直線BD⊥平面AOC
（2）求點E到平面ACD的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，則此時B、D的距離是（　�。�
A．2或
3
B．2或
2
C．2D．1或
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC=a，AA1=2a，則點D到平面A1BC的距離為（　　）
A．
2
5
3
a		B．
3
5
2
a		C．
2
5
5
a		D．
6
3
aC

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖：已知P是正方形ABCD所在平面外一點，點P在平面ABCD內的射影O是正方形的中心，PO=OD=a，E是PD的中點
（1）求證：PD⊥平面AEC
（2）求直線BP到平面AEC的距離
（3）求直線BC與平面AEC所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

一直線與直二面角的兩個面所成的角分別為α、β，則α+β的范圍為： (     )
A．0＜α＋β＜π/2B．α＋β＞π/2
C．0≤α＋β≤π/2D．0＜α＋β≤π/2

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