Question

9．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ae^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• B． （0，e）
• C． $（{\frac{1}{e}，e}）$
• D． （-∞，e）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為y=a和g（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$在（0，+∞）2個交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的范圍，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=lnx-ae^x+1，
若函數(shù)f（x）=xlnx-ae^x有兩個極值點(diǎn)，
則y=a和g（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$在（0，+∞）有2個交點(diǎn)，
g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，（x＞0），
令h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，則h′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0，
h（x）在（0，+∞）遞減，而h（1）=0，
故x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）遞增，
x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）遞減，
故g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{e}$，
而x→0時(shí)，g（x）→-∞，x→+∞時(shí)，g（x）→0，
若y=a和g（x）在（0，+∞）有2個交點(diǎn)，
只需0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．