Question

4．已知函數(shù)f（x）=2xlnx-（x-a）²．
（1）若f（x）在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，求函數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零點(diǎn)，若存在，求出滿足a∈（n，n+1），n∈Z的n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，由題意可知：f′（x）≤0恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求得函數(shù)a的取值范圍；
（2）求導(dǎo)，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，則f（1）≤f（1）=-（x-a）²＜0無零點(diǎn)，當(dāng)a＞0時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，即可求得存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零點(diǎn)．

解答 解：（1）由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)f′（x）=2（lnx-x+1+a），
則f（x）在定義域上單調(diào)遞減，則f′（x）≤0恒成立，
則g（x）=f′（x）=2（lnx-x+1+a），則g′（x）=$\frac{2}{x}$-2=$\frac{2（1-x）}{x}$，
當(dāng)x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
即f′（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤f′（1）≤0，則a≤0，
函數(shù)a的取值范圍（-∞，0]；
（2）當(dāng)x∈（0，1），xlnx＜0，∴f（x）=2xlnx-（x-a）²＜0恒成立，
當(dāng)x∈（1，+∞），由（1）可知，f′（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
①當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）可知，f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
則f（1）≤f（1）=-（x-a）²＜0，f（x）無零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)p（x）=e^x-2x，（x＞0），p′（x）=e^x-2，則p（x）＞p（ln2）=2-lnx2＞0，
∴f′（e^a+1）=2（a+1）-e^a+1＜0，由f′（1）＞0，
∴存在x₀∈（1，e^a+1），使得f′（x₀）=0，即a=x₀-1-lnx₀，①
故當(dāng)且僅當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，f′（x₀）＞0，當(dāng)x∈（x₀，+∞），f′（x₀）＜0，
∴f（x）在（1，x₀）內(nèi)單調(diào)遞增，在（x₀，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
由f（x）≤0恒成立，且f（x）有唯一的零點(diǎn)，
∴f（x₀）=2x₀lnx₀-（x₀-a）²=0，②
由①②可知：$\left\{\begin{array}{l}{a={x}_{0}-1-ln{x}_{0}}\\{2{x}_{0}ln{x}_{0}-（{x}_{0}-a）^{2}=0}\end{array}\right.$，③
聯(lián)立2x₀lnx₀-（x₀-a）²=2x₀lnx₀-[x₀-（x₀-1-lnx₀）]²=2x₀lnx₀-（1+lnx₀）²，
設(shè)φ（x）=2xlnx-（1+lnx）²，則φ（1）=1＞0，φ（e）=2（2-e）＜0，
當(dāng)且x≥1時(shí)，φ′（x）=2（lnx+1）（1-$\frac{1}{x}$）≥0，
則φ（x）在（1，e）上有唯一零點(diǎn)x₀，
即滿足方程組③的x₀唯一，且x₀∈（1，e），
設(shè)u（x）=x-1-lnx（x＞1），則u′（x）=1-$\frac{1}{x}$≥0，則u（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
則0=u（1）＜a=u（x₀）＜u（e）=e-2＜1，
即滿足方程組③的a∈（0，1），則n=0，
綜上所述，存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)的判斷，考查分類討論思想，考查計(jì)算能力，屬于難題．