Question

已知函數(shù)f(x)=

1+1nx

x

．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(a，a+

1

3

)(a＞0)上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）知果當(dāng)x≥1時，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

，這里n∈N^*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

1 x •x-(1+lnx)•1

x2

=-

lnx

x2

，
f′（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1，
f′（x）＜0?lnx＞0?x＞1，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在x=1處取得唯一的極值，
由題意，a＞0，且a＜1＜a+

1

3

，解得

2

3

＜a＜1，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

2

3

＜a＜1；
（2）當(dāng)x≥1時，f（x）≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），由題意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
g′（x）=

[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′（x）=1-

1

x

≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=1＞0，
因此g′（x）=

h(x)

x2

＞0，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）_min=g（1）=2，
所以k≤2；
（3）由（2），當(dāng)x≥1時，f（x）≥

2

x+1

，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

，
從而lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

，
令x=k（k+1），k∈N₊，則有l(wèi)n[k（k+1）]＞1-

2

k(k+1)

，
分別令k=1，2，3，…，n（n≥2）則有l(wèi)n（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，…，
ln[n（n-1）]＞1-

2

(n-1)n

，ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
將這個不等式左右兩端分別相加，則得，
ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]=n-2+

2

n+1

，
故1×2²×3²×…×n²（n+1）＞en-2+

2

n+1

，從而[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

，
當(dāng)n=1時，不等式顯然成立；
所以?n∈N₊，[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

；