Question

已知點(diǎn)A（-1，2），B（0，1），動點(diǎn)P滿足|PA|=

2

|PB|．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q在直線l₁：3x-4y+12=0上，直線l₂經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求|QM|的最小值．

Answer 1

分析：1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用點(diǎn)A（-1，2），B（0，1），動點(diǎn)P滿足|PA|=

2

|PB|，建立方程，整理即得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）結(jié)合題意，|QM|最小時(shí)，|CQ|最小，當(dāng)且僅當(dāng)圓心C到直線的距離最小，利用勾股定理，求出|QM|就是最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則
∵點(diǎn)A（-1，2），B（0，1），動點(diǎn)P滿足|PA|=

2

|PB|，
∴

(x+1)2+(y-2)2

=

2

•

x2+(y-1)2

，
∴化簡（x-1）²+y²=4；
（Ⅱ）由題意，|QM|最小時(shí)，|CQ|最小，當(dāng)且僅當(dāng)圓心C到直線的距離最小，此時(shí)d=

|3-0+12|

32+(-4)2

=3，
∴由勾股定理可得|QM|的最小值為

32-4

=

5

．

點(diǎn)評：本題考查兩點(diǎn)間距離公式及圓的性質(zhì)，著重考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．