如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點，
（1）證明：AD⊥平面PAC；
（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正弦值．
（1）證明：∵∠ADC=45°，且AD=AC=2，
∴∠DAC=90°，即AD⊥AC
又∵PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PO⊥AD，
又∵AC∩PO=O，
∴AD⊥平面PAC
（2）取DO中點N，連接MN，AN
∵M為PD的中點，∴MN∥PO，且MN=
1
2
PO=1，
∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD
∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，∵AD=2，AO=1，∠DAO=90°，∴DO=
5
，
∴AN=
1
2
DO=
5
2
，
在Rt△ANM中，sin∠MAN=
MN
MN2+AN2
=
2
3
，
即直線AM與平面ABCD所成角的正弦值為
2
3
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點，AB=BC=2，A1A=2
2

（Ⅰ）求證：EF∥平面A1BC1；
（Ⅱ）在線段BC1是否存在點P，使直線A1P與C1D垂直，如果存在，求線段A1P的長，如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點的距離分別是
5
，
17
，
13
，則P到A點的距離是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，每個側(cè)面均為正方形，D為底邊AB的中點，E為側(cè)棱CC1的中點，AB1與A1B的交點為O．
（1）求證：CD∥平面A1EB；
（2）求證：AB1⊥平面A1EB．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為2
3
的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求三棱錐B-CMN的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABEAE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD；
（3）求四面體BCDF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在直四棱住ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面是邊長為1的正方形，E、F、G分別是棱B1B、D1D、DA的中點．
（1）求證：平面AD1E∥平面BGF；
（2）求證：平面AEC⊥面AD1E．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點，O為AC與BD的交點．
（1）求證：平面BDF∥平面B1D1H；
（2）求證：平面BDF⊥平面A1AO；
（3）求證：EG⊥AC．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足______時，平面MBD⊥平面PCD．（只要填寫一個你認為是正確的條件即可）

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