Question

（2013•牡丹江一模）已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x≥0，都有f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），則f（-2011）+f（2012）的值為（　　）

A．-1

B．-2

C．2

D．1

Answer 1

分析：由題設(shè)知函數(shù)在[0，+∞）內(nèi)一個(gè)周期T=2，函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-2011）+f（2012）=-f（2011）+f（2012）=-f（1）+f（0），再由當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），能求出f（-2011）+f（2012）的值．

解答：解：∵對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x≥0，都有f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)在[0，+∞）內(nèi)的一個(gè)周期T=2，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（-2011）+f（2012）=-f（2011）+f（2012）
=-f（2011）+f（2012）
=-f（1）+f（0）
又當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），
∴f（1）=log₂（1+1）=1
f（0）log₂（0+1）=0
因此f（-2011）+f（2012）
=-f（1）+f（0）
=-1+0
=-1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化．