Question

18．已知函數(shù)f（x）=x-aln（x+1）
（1）試探究函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的極值；
（2）若對任意的x∈[1，2]，f（x）≥x²恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導得到f'（x）=$\frac{x-a+1}{x+1}$，分類討論，確定函數(shù)的單調性，即可探究函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的極值；
（2）設g（x）=x²-f（x）-x=x²-x+aln（x-1）（1≤x≤2），求函數(shù)g（x）的導數(shù)g'（x），根據(jù)g（x）在[1，2]單調遞增、單調遞減、在區(qū)間[1，2]存在極值三種情況進行討論可得g（x）的最大值，令其小于等于0可得a的范圍．

解答 解：（1）求導得到f'（x）=$\frac{x-a+1}{x+1}$．
若a≤1，f'（x）＞0，f（x）無極值；
若a＞1，則0＜x＜a-1，f'（x）＜0，x＞a-1．f'（x）＞0
則x=a-1時，得到極小值為f（a-1）=a-1-alna，無極大值；
（2）設g（x）=x²-f（x）-x=x²-x+aln（x-1）（1≤x≤2），則g′（x）=$\frac{2{x}^{2}+x+a-1}{x+1}$，
設h（x）=2x²+x+a-1．則h（x）在[1，2]上單調遞增，
∵x∈[1，2]，∴a+2≤h（x）≤a+9．
①當a≥-2時，h（x）≥0，g'（x）≥0，即g（x）在[1，2]上單調遞增，
要使不等式g（x）≤0對任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）_max=g（2）=2+aln3≤0，∴a≤-$\frac{2}{ln3}$．
又a≥-2，∴-2≤a≤-$\frac{2}{ln3}$．
②當a≤-9時，h（x）≤0，g'（x）≤0，即g（x）在[1，2]上單調遞減，
要使不等式g（x）≤0對任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）_max=g（1）=aln2≤0，∴a≤0．
又a≤-9，∴a≤-9．
③當-9＜a＜-2時，由h（x）=0，得x₀=$\frac{\sqrt{9-8a}-1}{4}$∈（1，2）．
當1≤x＜x₀時，h（x）＜0，∴g'（x）＜0；
當x₀＜x≤2時，h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在[1，x₀）上單調遞減，在（x₀，2]上單調遞增，要
使不等式g（x）≤0對任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）_max=max{g（1），g（2）}≤0．
又g（1）=aln2，g（2）=2+aln3，且-9＜a＜-2，0＜ln2＜1，1＜ln3，
∴g（1）=aln2＜0，g（2）=2+aln3＜2-2ln3＜0，即g（x）_max=max{g（1），g（2）}＜0，
∴-9＜a＜-2時符合條件．
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，-$\frac{2}{ln3}$]．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及恒成立問題，考查轉化思想、分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，屬中檔題．