Question

已知定理：“若a，b為常數(shù)，g（x）滿足g（a+x）+g（a-x）=2b，則函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱”．設(shè)函數(shù)f(x)=

x+1-a

a-x

，定義域?yàn)锳．
（1）試證明y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-1）成中心對(duì)稱；
（2）當(dāng)x∈[a-2，a-1]時(shí)，求證：f(x)∈[-

1

2

， 0]；
（3）對(duì)于給定的x₁∈A，設(shè)計(jì)構(gòu)造過(guò)程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n）．如果x_i∈A（i=2，3，4…），構(gòu)造過(guò)程將繼續(xù)下去；如果x_i∉A，構(gòu)造過(guò)程將停止．若對(duì)任意x₁∈A，構(gòu)造過(guò)程都可以無(wú)限進(jìn)行下去，求a的值．

Answer 1

分析：本題的要求較高，需要理解新的定理，第（1）小問(wèn)是對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的考查，第（2）小問(wèn)是對(duì)函數(shù)值域求法的考查，相對(duì)比較容易，對(duì)于第（3）問(wèn)要求理解構(gòu)造的一個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)不會(huì)出現(xiàn)函數(shù)定義域A之外的元素，構(gòu)造過(guò)程才可以繼續(xù)，這就轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題，進(jìn)而分類討論求出a．

解答：（1）∵f(x)=-1+

1

a-x

，∴f(a+x)+f(a-x)=(-1+

1

-x

)+(-1+

1

x

)=-2．
由已知定理，得y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-1）成中心對(duì)稱．（3分）
（2）先證明f（x）在[a-2，a-1]上是增函數(shù)，只要證明f（x）在（-∞，a）上是增函數(shù)．
設(shè)-∞＜x₁＜x₂＜a，則f(x1)-f(x2)=

1

a-x1

-

1

a-x2

=

x1-x2

(a-x1)(a-x2)

＜0，
∴f（x）在（-∞，a）上是增函數(shù)．再由f（x）在[a-2，a-1]上是增函數(shù)，得
當(dāng)x∈[a-2，a-1]時(shí)，f（x）∈[f（a-2），f（a-1）]，即f(x)∈[-

1

2

， 0]．（7分）
（3）∵構(gòu)造過(guò)程可以無(wú)限進(jìn)行下去，∴f(x)=

x+1-a

a-x

≠a對(duì)任意x∈A恒成立．
∴方程

x+1-a

a-x

=a無(wú)解，即方程（a+1）x=a²+a-1無(wú)解或有唯一解x=a．
∴

a+1=0 a2+a-1≠0

或

a+1≠0 a2+a-1 a+1 =a

由此得到a=-1（13分）

點(diǎn)評(píng)：本例考查的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)有，函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的定義域和值域的求法；數(shù)學(xué)思想有極限思想，方程思想；是一道函數(shù)綜合題．