Question

已知定理：“若a，b為常數(shù)，g（x）滿足g（a+x）+g（a-x）=2b．則函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對稱”．設(shè)函數(shù)f（x）=

x+1-a

a-x

，定義域?yàn)锳．
（1）試證明y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-1）成中心對稱；
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間（不證明），并求當(dāng)x∈[a-2，a-1]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域；
（3）對于給定的x₁∈A，設(shè)計(jì)構(gòu)造過程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n）．如果x_i∈A（i=1，2，3，4…），構(gòu)造過程將繼續(xù)下去；如果x_i∉A，構(gòu)造過程將停止．若對任意x₁∈A，構(gòu)造過程都可以無限進(jìn)行下去，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中心對稱的定義和性質(zhì)證明y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-1）成中心對稱；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)f（x）的值域；
（3）根據(jù)設(shè)計(jì)過程，進(jìn)行推理即可．

解答：解：（1）證明：∵f(x)=

x+1-a

a-x

=-1+

1

a-x

，
∴f(a+x)+f(a-x)=-1+

1

a-(a+x)

-1+

1

a-(a-x)

=-2
由已知定理知y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-1）成中心對稱；
（2）由f(x)=

x+1-a

a-x

=-1+

1

a-x

知f(x)在(-∞，a)，(a，+∞)上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[a-2，a-1]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇-

1

2

，0]
（3）∵對任意x₁∈A，構(gòu)造過程都可以無限進(jìn)行下去，
∴f(x)=

x+1-a

a-x

≠a對任意x∈A恒成立∴方程

x+1-a

a-x

=a無解
即方程（a+1）x=a²+a+1無解，或有唯一解x=a，
∴

a+1=0 a2+a+1≠0

或

a+1≠0 (a+1)a=a2+a+1

由此得a=-1

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．