Question

已知f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k為常數(shù)，且k≠0，f（2）=3．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-mx，若g（x）在區(qū)間[-2，+∞）上是單調(diào)遞減的，求m的取值范圍；
（3）定義：“若對于任意函數(shù)，有x∈[a，b]時，h（x）∈[a，b]，則稱h（x）的保值區(qū)間，”本題中，求f（x）的保值區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運用代入法，求出k，即可得到解析式；
（2）由對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到m的范圍；
（3）令f（x）=x，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到保值區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=kx²+（3+k）x+3，
代入f（2）=3得4k+2（3+k）+3=3，即k=-1，
則f（x）=-x²+2x+3；
（2）g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，
已知g（x）在區(qū)間[-2，+∞）單調(diào)遞減，
則g（x）的對稱軸x=-

2-m

-2

≤-2，
解得，m≥6；
（3）由f（x）=x也即-x²+2x+3=x，
解得x₁=

1+ 13

2

，x₂=

1- 13

2

，
由f（x）的單調(diào)性可知，
f（x）的保值區(qū)間為（-∞，

1- 13

2

]和[

1+ 13

2

，+∞）．

點評：本題考查二次函數(shù)的解析式和單調(diào)性及運用，考查新定義以及運用，考查運算能力，屬于中檔題．