Question

3．在△ABC中，a=3$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則sinA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，若b＜a，則b=3．

Answer 1

分析 由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，由正弦定理可得sinA，可求cosA=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，分類討論，當(dāng)cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，可求cosB=-$\frac{\sqrt{6}}{9}$＜0，與b＜a，B為銳角，矛盾，舍去，從而利用兩角和的余弦函數(shù)公式可求cosB，求得sinB，利用由正弦定理可得b的值．

解答 解：∵a=3$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{1}{3}$，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{3\sqrt{2}×\frac{1}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
可得：cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=-$\frac{\sqrt{6}}{9}$＜0，
由于b＜a，B為銳角，矛盾，舍去，
∴cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{3}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{3}}$=3．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$，3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，兩角和的余弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．