Question

【題目】設(shè)，橢圓：與雙曲線(xiàn)：的焦點(diǎn)相同．

（1）求橢圓與雙曲線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)作兩條斜率分別為，的直線(xiàn)，，分別交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，（，不同于右頂點(diǎn)），若，求證：直線(xiàn)的傾斜角為定值，并求出此定值；

（3）設(shè)點(diǎn)，若對(duì)于直線(xiàn)，橢圓上總存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，雙曲線(xiàn)的方程為；（2）詳見(jiàn)解析.（3）見(jiàn)解析。

【解析】

（1）利用橢圓和雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合焦點(diǎn)相同，建立方程，計(jì)算m值，即可。（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，代入雙曲線(xiàn)方程，建立等式，計(jì)算P的坐標(biāo)，同理得到Q的坐標(biāo)，結(jié)合，可以得到，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)PQ與x軸平行，故證之。（3）結(jié)合題意，設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，代入橢圓解析式中，建立方程，計(jì)算出AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)，而M又在直線(xiàn)l上，代入，結(jié)合題目所提供的不等式，建立不等關(guān)系，即可得到b的范圍。

解：（1）由題意，，所以．

所以橢圓的方程為，雙曲線(xiàn)的方程為．

（2）雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，不妨設(shè)，則，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由,得，

則,()，.

同理，，，

又，所以，.

因?yàn)?/span>，所以直線(xiàn)與軸平行，即為定值，傾斜角為0． ，

（3）設(shè)，，直線(xiàn)的方程為，

由整理得，

△，故．

，，

設(shè)的中點(diǎn)為，則，，

又在直線(xiàn) 上，所以，．

因?yàn)?/span>，，

所以

，所以．又，。

即.