Question

11．以直角坐標系xOy的原點O為極點、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}a+1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}a-5}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），圓C的極坐標方程為ρ=8sinθ
（1）求圓C的圓心極坐標與半徑；
（2）判斷直線l與圓C的位置．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得圓C的直角坐標方程，可得圓心的直角坐標，化為極坐標，以及半徑；
（2）求得直線l的普通方程，圓心C到直線的距離d＞r，即可判斷直線和圓C的位置關系．

解答 解：（1）圓C的極坐標方程為ρ=8sinθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得ρ²=8ρsinθ，即有x²+y²=8y，
可得圓心為C（0，4），半徑為4，
即有圓C的圓心極坐標為（4，$\frac{π}{2}$），半徑為4；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}a+1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}a-5}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），
可得直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y-5-$\sqrt{3}$=0，
圓心C（0，4）到直線l的距離為d=$\frac{|-4-5-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{9+\sqrt{3}}{2}$＞4．
可得直線l和圓C相離．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查圓的方程的運用，同時考查直線參數(shù)方程和普通方程的互化，考查直線和圓的位置關系的判斷，注意運用點到直線的距離公式，屬于基礎題．