Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^{2x}}-{e^x}sinx+1}}{{{e^{2x}}+1}}$的最大值為M，最小值為m，則M+m的值為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由f（x）=1+$\frac{{e}^{x}sinx}{1+{e}^{2x}}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}sinx}{1+{e}^{2x}}$，x∈R，判斷g（x）為奇函數(shù)，其最值之和為0，即可得到所求和．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^{2x}}-{e^x}sinx+1}}{{{e^{2x}}+1}}$
=1+$\frac{{e}^{x}sinx}{1+{e}^{2x}}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}sinx}{1+{e}^{2x}}$，x∈R，
則g（-x）=$\frac{{e}^{-x}sin（-x）}{1+{e}^{-2x}}$=$\frac{{e}^{x}（-sinx）}{{e}^{2x}+1}$=-g（x），
可得g（x）為奇函數(shù)，
由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，可得g（x）的最大值A和最小值a之和為0，
則M+m=（A+1）+（a+1）=（A+a）+2=2．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用轉化思想和構造函數(shù)法，運用奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，其最值之和為0是解題的關鍵，屬于中檔題．