Question

執(zhí)行如圖所示的一個程序框圖，若f（x）在[-1，a]上的值域為[0，2]，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（0，1]
• B、[1，

  3

  ]
• C、[1，2]
• D、[

  3

  ，2]

Answer 1

考點：程序框圖

專題：函數的性質及應用,算法和程序框圖

分析：算法的功能是求f（x）=

x3-3x+2             x≥0 log2(1-x)+1    -1≤x＜0

的值，分類求解f（x）在[-1，a]上的值域為[0，2]時，實數a滿足的條件，從而可得a的取值范圍．

解答： 解：由程序框圖知：算法的功能是求f（x）=

x3-3x+2             x≥0 log2(1-x)+1    -1≤x＜0

的值，
當a＜0時，y=log₂（1-x）+1在[-1，a]上為減函數，f（-1）=2，f（a）=0⇒1-a=

1

2

，a=

1

2

，不符合題意；
當a≥0時，f′（x）=3x²-3＞⇒x＞1或x＜-1，
∴函數在[0，1]上單調遞減，又f（1）=0，∴a≥1；
又函數在[1，a]上單調遞增，∴f（a）=a³-3a+2≤2⇒a≤

3

．
故實數a的取值范圍是[1，

3

]．
故選：B．

點評：本題考查了選擇結構的程序框圖，考查了導數的應用及分段函數值域的求法，綜合性強，體現了分類討論思想，解題的關鍵是利用導數法求函數在不定區(qū)間上的最值．