Question

4．若不等式x²-2ax+a＞0，對(duì)x∈R恒成立，則關(guān)于t的不等式a^2t+1＜a${\;}^{{t^2}+2t-3}}$＜1的解為（1，2）．

Answer 1

分析 由不等式x²-2ax+a＞0對(duì)x∈R恒成立，求出0＜a＜1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式a^2t+1＜a${\;}^{{t^2}+2t-3}}$＜1化成一個(gè)關(guān)于t的整式不等式，解不等式即可．

解答 解：不等式x²-2ax+a＞0，對(duì)x∈R恒成立，
∴△=4a²-4a＜0，
解得0＜a＜1，
此時(shí)，y=a^x為減函數(shù)；
又∵a^2t+1＜a${\;}^{{t^2}+2t-3}}$＜1，
∴2t+1＞t²+2t-3＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4＜0}\\{{t}^{2}+2t-3＞0}\end{array}\right.$；
解得1＜t＜2
故不等式a^2t+1＜a${\;}^{{t^2}+2t-3}}$＜1的解集為（1，2）．
故答案為：（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)y=a^x的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，底數(shù)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，底數(shù)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)在其定義域上均為減函數(shù)，由此將指數(shù)不等式化為整式不等式求解．