Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{2}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)存在兩個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數(shù)，可得切線的斜率，即可求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，則g（x）=ax²-x+2在（0，+∞）2個解，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx-x+$\frac{2}{x}$，
∴f（1）=1，
∴切點為（1，1）
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{-x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=-2，
∴切線方程為y-1=-2（x-1），
即2x+y-3=0；
（Ⅱ）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{-（{ax}^{2}-x+2）}{{\;}^{2x}}$，
若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)存在兩個極值點，
則g（x）=ax²-x+2在（0，+∞）2個解，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△=1-8a＞0}\\{{x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性問題以及導數(shù)的應用，是一道基礎題．