Question

6．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ 2x+y≤2\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為M，若M的取值范圍是[1，2]，則點M（a，b）所經(jīng)過的區(qū)域面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合分類求得最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)最大值的范圍可得點M（a，b）的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)一步作差可行域，由梯形面積公式求解．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ 2x+y≤2\end{array}\right.$作出可行域如圖，

A（1，0），B（0，2），
化目標(biāo)函數(shù)z=ax+by為y=$-\frac{a}x+\frac{z}$．
由圖可知，當(dāng)$-\frac{a}≤-2$，即a≥2b時，目標(biāo)函數(shù)的最大值a∈[1，2]，此時有$\left\{\begin{array}{l}{a≥2b}\\{1≤a≤2}\\{b＞0}\end{array}\right.$①；
當(dāng)-$\frac{a}＞-2$，即a＜2b時，目標(biāo)函數(shù)的最大值2b∈[1，2]，此時有$\left\{\begin{array}{l}{a＜2b}\\{\frac{1}{2}≤b≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$ ②．
作出①②表示的平面區(qū)域如圖，

∴陰影部分的面積為$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+1）×1+\frac{1}{2}（1+2）×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．