Question

1．如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，CP⊥CD，M為PD的中點．
（1）求證：AM∥平面PBC；
（2）求證：平面BDP⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點N，連結(jié)MN，BN，則四邊形ABNM是平行四邊形，得出AM∥BN，故而AM∥平面PBC；
（2）由面面垂直得PC⊥BD，由等腰梯形的性質(zhì)可得BD⊥BC，故而BD⊥平面PBC，于是平面BDP⊥平面PBC．

解答 證明：（1）取PC的中點N，連結(jié)MN，BN，
則MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又AB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴四邊形ABNM是平行四邊形，
∴AM∥BN，又AM?平面PBC，BN?平面PBC，
∴AM∥平面PBC．
（2）∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，CD⊥PC，PC?平面PCD，
∴PC⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD，
則cos∠BCD=$\frac{\frac{1}{2}（CD-AB）}{BC}$=$\frac{1}{2}$，即∠BCD=60°，
∴BD²=BC²+CD²-BC•CD=3BC²，∴BC²+BD²=CD²，
∴BD⊥BC，
又BC∩PC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
∴BD⊥平面PBC，又BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PBC．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)與判定，屬于中檔題．