Question

（1）已知矩陣，．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線2x-y+1=0在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到的曲線F，求曲線F的方程．
（2）在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心坐標(biāo)為C （2，），半徑R=，求圓C的極坐標(biāo)方程．
（3）已知a，b為正數(shù)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用矩陣的乘法法則求出MN，設(shè)出已知直線的一點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），求出這點(diǎn)在矩陣MN對應(yīng)變換下的坐標(biāo)（x'，y'）與設(shè)出坐標(biāo)
（x，y）的關(guān)系，分別求出x^′和y^′，代入已知直線方程即可得到曲線F的方程；
（2）將圓心極坐標(biāo)化為普通坐標(biāo)，根據(jù)半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后令x等于ρcosθ，y等于ρsinθ，代入化簡即可得到圓C的極坐標(biāo)方程；（3）由a與b都為正數(shù)，給不等式的左邊乘以（a+b），去括號化簡后，利用基本不等式求出最小值，然后把不等式變形即可得證．
解答：解：（1）由題設(shè)得，
設(shè)（x，y）是直線2x-y+1=0上任意一點(diǎn)，
點(diǎn)（x，y）在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下變?yōu)椋▁'，y'），
則有，即，所以
因?yàn)辄c(diǎn)（x，y）在直線2x-y+1=0上，從而2x'-（-y'）+1=0，即：2x'+y'+1=0
所以曲線F的方程為2x+y+1=0；
（2）將圓心C（2，）化成直角坐標(biāo)為（1，），半徑R=，
故圓C的方程為（x-1）²+（y-）²=5．
再將C化成極坐標(biāo)方程，得（ρcosθ-1）²+（ρcosθ-）²=5．
化簡，得ρ²-4ρcos（θ-）+1=0，此即為所求的圓C的方程；
（3）證明：∵a＞0，b＞0，所以
∴
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會求一點(diǎn)在矩陣變換下的坐標(biāo)，會根據(jù)條件求圓的極坐標(biāo)方程，靈活運(yùn)用基本不等式化簡求值，是一道綜合題．