Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a＜0時，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）對a進行討論，判斷f′（x）的符號得出f（x）的單調區(qū)間；
（2）對-$\frac{1}{a}$和區(qū)間[1，2]的關系進行討論，判斷f（x）在[1，2]上的單調性，從而計算出f（x）的最小值．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
若a≥0時，f′（x）＞0，
若a＜0，令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{a}$．
∴當0＜x＜-$\frac{1}{a}$時，f′（x）＞0，當x$＞-\frac{1}{a}$時，f′（x）＜0，
綜上，當a≥0時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），
當a＜0時，f（x）的增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）由（1）可知f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）上單調遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上單調遞減．
①當2≤-$\frac{1}{a}$即-$\frac{1}{2}$≤a＜0時，f（x）在[1，2]上單調遞增，
∴f_min（x）=f（1）=a；
②當-$\frac{1}{a}$≤1即a≤-1時，f（x）在[1，2]上單調遞減，
∴f_min（x）=f（2）=ln2+2a；
③當1＜-$\frac{1}{a}$＜2即-1＜a＜-$\frac{1}{2}$時，f（x）在[1，-$\frac{1}{a}$]上單調遞增，在[-$\frac{1}{a}$，2]上單調遞減，
若f（1）≤f（2），即a≤ln2+2a，解得a≥-ln2
若f（1）＞f（2），即a＞ln2+2a，解得a＜-ln2．
∴當-ln2≤a＜-$\frac{1}{2}$時，f_min（x）=f（1）=a，
當-1＜a＜-ln2時，f_min（x）=f（2）=ln2+2a．
綜上：當-ln2≤a＜0時，f_min（x）=a，
當a＜-ln2時，f_min（x）=ln2+2a．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，分類討論思想，屬于中檔題．