Question

6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若a²+b²-c²=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$S．
（1）求角C的大��；
（2）若c=$\sqrt{3}$，S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosC，利用面積公式表示出S，整理后代入已知等式求出tanC的值，即可確定出C的度數；
（2）由已知面積S，求出ab的值，將c，S的值代入已知等式，利用完全平方公式變形后把ab的值代入求出a+b的值即可．

解答 解：（1）∵cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即a²+b²-c²=2abcosC，S=$\frac{1}{2}$absinC，
∴已知等式變形得：2abcosC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$absinC，
整理得：tanC=$\sqrt{3}$，
則C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵c=$\sqrt{3}$，S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即ab=2，
∴a²+b²-3=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a²+b²=5，
∴（a+b）²-2ab=5，即（a+b）²=9，
則a+b=3．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．