Question

6．（理科）已知函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x（x∈R）
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）求函數(shù)的增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，可得振幅、周期和初相
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
化簡可得：y=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+sin2x+3$（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x）$
=sin2x+cos2x+2
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2
（1）∴振幅為：$\sqrt{2}$，
周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
初相：$\frac{π}{4}$．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，
解得：$kπ-\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$，
∴函數(shù)的增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{8}$，$\frac{π}{8}+kπ$]，（k∈Z）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基本概念的記憶和運(yùn)用以及化簡能力，比較基礎(chǔ)．