Question

12．已知點(diǎn)A（2sinx，-cosx）、B（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），記f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）若x₀是函數(shù)y=f（x）-1的零點(diǎn)，求tanx₀的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最值及對應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，解方程求出x₀的值即可．
（2）求出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（2sinx，-cosx）•（$\sqrt{3}$cosx，2cosx）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-1-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
若x₀是函數(shù)y=f（x）-1的零點(diǎn)，
則f（x₀）-1=2sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）-1-1=0，即sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=1，
故2x₀-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，則x₀=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
則tanx₀=tan（kπ+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$時，即x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{π}{2}$，函數(shù)f（x）取得最小值，此時f（x）=2sin$\frac{π}{6}$-1=2×$\frac{1}{2}$-1=1-1=0，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，即x=$\frac{π}{3}$，函數(shù)f（x）取得最大值，此時f（x）=2sin$\frac{π}{2}$-1=2-1=1．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．