Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）試比較2016²⁰¹⁷與2017²⁰¹⁶的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∴f（x）_極大值=f（e）=$\frac{1}{e}$，無極小值；
（Ⅱ）∵f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞減，
∴$\frac{ln2016}{2016}$＞$\frac{ln2017}{2017}$，
∴2017ln2016＞2016ln2017，
∴2016²⁰¹⁷＞2017²⁰¹⁶．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．