Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數(shù)n，點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=t^a_n（t＞0），數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，求

lim

n→∞

Tn+1

Tn

的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上．可得Sn=n2+2n，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，當n=1時，a₁=S₁，即可得出．
（2）c_n=t^a_n=t²ⁿ⁺¹，可得當t=1時，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=n，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

n+1

n

=1．當t＞0且t≠1時，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=

t3(t2n-1)

t2-1

，

Tn+1

Tn

=

t2n+2-1

t2n-1

．對t分為t＞1與0＜t＜1即可得出．

解答： 解：（1）∵點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上．
∴Sn=n2+2n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
當n=1時，a₁=S₁=3，上式也成立．
∴a_n=2n+1．
（2）c_n=t^a_n=t²ⁿ⁺¹，
∴當t=1時，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=n，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

n+1

n

=1．
當t＞0且t≠1時，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=

t3(t2n-1)

t2-1

，
∴

Tn+1

Tn

=

t2n+2-1

t2n-1

．
當t＞1時，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

t2n+2-1

t2n-1

=

lim

n→∞

t2- 1 t2n

1- 1 t2n

=t²．
當0＜t＜1時，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

t2n+2-1

t2n-1

=1．
綜上可得：

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

1，0＜t≤1 t2，t＞1

．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列極限的運算性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．