Question

已知函數(shù)f（x）=

2

2-x

+

1

x

（0＜x＜2）．
（Ⅰ） 求f（x）的最小值及相應(yīng)x的值；
（Ⅱ） 解關(guān)于x的不等式：f（x）≥

m

x

（m∈R）．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由0＜x＜2得2-x＞0，將解析式化為：f(x)=

1

2

(

2

2-x

+

1

x

)[(2-x)+x]，化簡后利用基本不等式求出最小值，并求出等號成立時對應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍化簡f(x)≥

m

x

后，再對m進行分類，并分別求出不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）由0＜x＜2得，2-x＞0，
所以f(x)=

1

2

(

2

2-x

+

1

x

)[(2-x)+x]
=

1

2

(3+

2-x

x

+

2x

2-x

)≥

1

2

(3+2

2

)=

3

2

+

2

，
等號成立條件：

2-x

x

=

2x

2-x

(0＜x＜2)，解得x=2

2

-2，
故當x=2

2

-2時，f(x)min=

3

2

+

2

，
（Ⅱ）由 f(x)≥

m

x

得，

0＜x＜2 2 2-x + 1 x ≥ m x

，即

0＜x＜2 (m+1)x≥2(m-1)

，
（1）當m≤1時，m-1＜0，則不等式的解集為（0，2）；
（2）當m＞1時，0＜

m-1

m+1

＜1，則不等式的解集為[

2m-2

m+1

，2)．

點評：本題考查基本不等式求最值，不等式的求解，以及轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查化簡能力、靈活變形的能力．