Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π）部分圖象如圖所示．
（1）求?，ϕ的值；
（2）若方程f（x+

π

3

）=m在區(qū)間[{0，

π

2

]內有兩個不相等的實數根x₁，x₂．求：
i）m的取值范圍；
ii）求x₁+x₂．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：綜合題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由周期求出ω，由最高點求出φ的值；
（2）i）數形結合可得，要有兩個不相等的實根，即可求出m的取值范圍；
ii）利用對稱性求x₁+x₂．

解答： 解：（1）由圖可知T=π，所以?=2，由五點法或代入一點，可得ϕ=-

π

2

（2）i）f（x+

π

3

）=sin（2x+

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
由圖，方程f（x+

π

3

）=m在區(qū)間[{0，

π

2

]內有兩個不相等的實數根x₁，x₂，
數形結合可得，∴要有兩個不相等的實根，∴m∈[

1

2

，1)；
ii）利用對稱性，可得x1+x2=

π

3

．

點評：本題考查函數與方程的綜合運用，正弦函數的值域，正弦函數的對稱性，得到m的取值范圍，是解題的難點．