Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=3x ， f（a+2）=27，函數(shù)g（x）=λ2ax﹣4x的定義域為[0，2]．
（1）求a的值；
（2）若λ=2，試判斷函數(shù)g（x）在[0，2]上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若函數(shù)g（x）的最大值是 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：27=3a+2=33，∴a=1
（2）解：由（1）及λ=2得，g（x）=22x﹣4x．

任取0≤x1＜x2≤2，則x2﹣x1＞0，

∴g（x2）﹣g（x1）= =

= =

∵0≤x1＜x2≤2，∴ ，

∴ ＞0，

∴2﹣ ＜0，

∴ ＜0

即g（x2）﹣g（x1）＜0，

即g（x1）＞g（x2），

∴g（x）在[0，2]上是減函數(shù)

（3）解：設(shè)t=2x，∵0≤x≤2，

∴1≤2x≤4．

∴1≤t≤4．

y=﹣t2+λt= ，1≤t≤4．

①當(dāng) ＜1，即λ＜2時，ymax=λ﹣1= ，∴λ= ；

②當(dāng)1≤ E≤4，即2≤λ≤8時，ymax= ，∴λ= [2，8]（舍）；

③當(dāng) ＞4，即λ＞8時，ymax=﹣16+4λ= ，∴λ= ＜8（舍）．

綜上λ=

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合題意得3a+2=27，利用指數(shù)的運算性質(zhì)可得實數(shù)a的值；（2）利用單調(diào)性的定義證明即可；（3）令2x=t，可得g（x）=h（t）=﹣（t﹣ ）2+ ，其中t∈[1，4]．再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，分別建立關(guān)于λ的方程，解之并加以檢驗，最后綜合可得函數(shù)g（x）的最大值是 時，實數(shù)λ的值 ．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能正確解答此題．