Question

1．已知f（x）=|x-1|+|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a²-2a對任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值的意義，分類討論，即可解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）因為|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，所以f（x）的最小值為3，要使得關(guān)于x的不等式f（x）＞a²-a對任意的x∈R恒成立，只需a²-2a＜3解得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當x＜-2時，f（x）=-（x-1）-（x+2）=-2x-1，由f（x）≥5解得x≤-3；
當-2≤x＜1時，f（x）=-（x-1）+（x+2）=3≥5不成立；
當x≥1時，f（x）=（x-1）+x+2=2x+1≥5解得x≥2，
綜上有f（x）≥5的解集是（-∞，-3]∪[2，+∞）；
（2）因為|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，所以f（x）的最小值為3，
要使得關(guān)于x的不等式f（x）＞a²-2a對任意的x∈R恒成立，
只需a²-2a＜3解得-1＜a＜3，
故a的取值范圍是（-1，3）．

點評 本題考查不等式的解法，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．