Question

6．若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n=1，2，…）．
（1）求證：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=$\frac{1}{2}$，寫出a₂，a₃，a₄，a₅的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）采用反證法證明，先假設(shè)兩種相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值為常數(shù)0或1，進(jìn)而得到此數(shù)列為是0或1的常數(shù)列，與已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假設(shè)錯誤，兩種不相等；
（2）由已知條件分別令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，并猜想a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$．然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答 解：（1）證明：假設(shè)a_n+1=a_n，即a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
解得a_n=0或a_n=1，
從而a_n=a_n-1=…=a₂=a₁=0或a_n=a_n-1=…=a₂=a₁=1，
這與題設(shè)a₁＞0或a₁≠1相矛盾，
所以a_n+1=a_n不成立．故a_n+1≠a_n成立．              
（2）由題意得${a_1}=\frac{1}{2}，{a_2}=\frac{2}{3}，{a_3}=\frac{4}{5}，{a_4}=\frac{8}{9}，{a_5}=\frac{16}{17}$，
由此猜想：a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$．
①當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{{2}^{0}}{{2}^{0}+1}$=$\frac{1}{2}$，猜想成立，
②假設(shè)n=k+1時，a_k=$\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}-1}$成立，
當(dāng)n=k+1時，a_k+1=$\frac{2{a}_{k}}{1+{a}_{k}}$=$\frac{2×\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}}{1+\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}}$=$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k}+1}$=$\frac{{2}^{（k+1）-1}}{{2}^{（k+1）-1}+1}$，
∴當(dāng)n=k+1時，猜想也成立，
由①②可知，對一切正整數(shù)，都有a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$成立

點評 本題考查了反證法，考查數(shù)列的通項公式的猜想，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．