Question

已知橢

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0，1），直線l：y=kx-

1

3

與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）若|AB|=

4 26

9

，求k的值；
（2）求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0，1），可得

c

a

=

2

2

，b=1，又
a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得到橢圓的方程．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其弦長(zhǎng)公式即可得出．
（2）取k=0時(shí)，解得A(-

4

3

，-

1

3

)，B(

4

3

，-

1

3

)．可得以線段AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．
可知：此圓過(guò)點(diǎn)（0，1）．猜想以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M（0，1）．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)只有證明

MA

•

MB

=0即可．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0，1），
∴

c

a

=

2

2

，b=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得b=1=c，a=

2

．
∴橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1．
聯(lián)立

y=kx- 1 3 x2+2y2=2

，化為（9+18k²）x²-12kx-16=0，
△＞0，
x₁+x₂=

12k

9+18k2

，x₁x₂=

-16

9+18k2

．
∵|AB|=

4 26

9

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 144k2 (9+18k2)2 + 64 9+18k2 ]

=

4 26

9

，
化為23k⁴-13k²-10=0，解得k=±1．
（2）取k=0時(shí)，解得A(-

4

3

，-

1

3

)，B(

4

3

，-

1

3

)．
可得以線段AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．
可知：此圓過(guò)點(diǎn)（0，1）．猜想以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M（0，1）．
下面給出證明：∵

MA

•

MB

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）
=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=（1+k²）x₁x₂-

4k

3

(x1+x2)+

16

9

=

-16(1+k2)

9+18k2

-

16k2

9+18k2

+

16

9

=0，
∴

MA

⊥

MB

，
因此以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)與向量垂直的關(guān)系，考查了猜想能力與推理能力、計(jì)算能力，屬于難題．