Question

平面上兩點F₁，F₂滿足|F₁F₂|=10．設d為實數，令Γ表示平面上滿足||PF₁|-|PF₂||=d的所有P點所成的圖形．又令圓C為平面上以F₁為圓心，9為半徑的圓．給出下列選項：
①當d=0時，Γ為直線；
②當d=1時，Γ為雙曲線；
③當d=6時，Γ9與C有兩個公共點；
④當d=8時，Γ與C有三個公共點；
⑤當d=10時，Γ與C有兩個公共點．
其中是真命題的有：

 

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①d=0時，點P的軌跡Γ是線段F₁F₂的垂直平分線；
②d=1時，點P的軌跡Γ是雙曲線；
③d=6時，Γ是雙曲線，與圓C有4個交點；
④d=8時，Γ是雙曲線，與圓C有3個公共點；
⑤d=10時，點P的軌跡Γ是兩條射線，與圓C有1個交點．

解答： 解：對于①，當d=0時，|PF₁|=|PF₂|，點P的軌跡Γ是線段F₁F₂的垂直平分線，命題①正確；
對于②，當d=1時，∵||PF₁|-|PF₂||=1＜|F₁F₂|=10，∴點P的軌跡Γ是雙曲線，命題②正確；
對于③，當d=6時，Γ是雙曲線，且c=5，a=3，
C是以F₁為圓心、9為半徑的圓，Γ與圓C有4個交點，命題③錯誤；
對于④，當d=8時，Γ是雙曲線，且c=5，a=4，
Γ與圓C有三個公共點，∴命題④正確；
對于⑤，當d=10時，∵||PF₁|-|PF₂||=10=|F₁F₂|，
∴點P的軌跡Γ是兩條射線，與圓C的交點只有1個，∴命題⑤錯誤．
綜上，正確的命題是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了雙曲線的定義，圓與雙曲線的位置關系的應用問題，解題的關鍵是數形結合，是綜合題．