Question

【題目】已知正方體棱長為，如圖，為上的動(dòng)點(diǎn)，平面.下面說法正確的是（ ）

A.直線與平面所成角的正弦值范圍為

B.點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

C.點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，若平面經(jīng)過點(diǎn)，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.己知為中點(diǎn)，當(dāng)的和最小時(shí)，為的中點(diǎn)

Answer 1

【答案】AC

【解析】

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A選項(xiàng)的正誤；證明出平面，分別取棱、、、、、的中點(diǎn)、、、、、，比較和六邊形的周長和面積的大小，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點(diǎn)、，判斷四邊形的形狀可判斷C選項(xiàng)的正誤；將矩形與矩形延展為一個(gè)平面，利用、、三點(diǎn)共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、設(shè)點(diǎn)，

平面，則為平面的一個(gè)法向量，且，，

，

所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，連接、、、，

在正方體中，平面，平面，，

四邊形是正方形，則，，平面，

平面，，同理可證，

，平面，

易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.

設(shè)、、、、、分別為棱、、、、、的中點(diǎn)，

易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，

正六邊形的周長為，面積為，

則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，點(diǎn)，，

平面，平面，，即，得，，

所以，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則，，

而，，且，

由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得，，，

所以，四邊形為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，將矩形與矩形延展為一個(gè)平面，如下圖所示：

若最短，則、、三點(diǎn)共線，

，，

，所以，點(diǎn)不是棱的中點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.